数论问题已知奇质数p,当p>3,求证1+1/2+.+1/p-1=A/B.gcd（A,B）=1(即A、B互质),证明p^2|A（A被p的平方整除）.

Question

数论问题
已知奇质数p,当p>3,求证1+1/2+.+1/p-1=A/B.gcd（A,B）=1(即A、B互质),证明p^2|A（A被p的平方整除）.

Answer 1

首先把1+1/2+.+1/(p-1)首尾配对求和,即利用1/k+1/(p-k) = p/[k(p-k)],可以得到A是p的倍数.
接下去考察2[1+1/2+.+1/(p-1)]/p=(2A/p)/B,把左端写成
1/[1*(p-1)]+1/[2*(p-2)]+...+1/[(p-1)*1]
只需要证明这个数乘上 (p-1)!后是p的倍数即可.
注意(p-1)!/[k(p-k)]和(p-1)!*inv(k)*inv(p-k)关于p同余,这里inv(k)表示k在模p下的乘法逆元（在1,...,p-1中存在唯一的n满足nk=1(mod p),n记为inv(k)）,这样
inv(k)*inv(p-k) = inv(-k^2) = -inv(k)^2 (mod p).
由于1,2,...,p-1的逆恰好取遍1,2,...,p-1,所以
inv(1)^2+inv(2)^2+...+inv(p-1)^2=1^2+2^2+...+(p-1)^2=p(p-1)(2p-1)/6,
p>3时这个数确实是p的倍数.