当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%

Question

当兔子和狐狸处于同一栖息地时，忽略其他因素，只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响，为了简便起见，不妨做如下假设：
（1）由于自然繁殖，兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%；
（2）由于狐狸吃兔子，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍；
（3）第n年时，兔子数量R _n 用表示，狐狸数量用F _n 表示；
（4）初始时刻（即第0年），兔子数量有R ₀ =100只，狐狸数量有F ₀ =30只．
请用所学知识解决如下问题：
（1）列出兔子与狐狸的生态模型；
（2）求出R _n 、F _n 关于n的关系式；
（3）讨论当n越来越大时，兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态，说明你的理由．

Answer 1

（1）∵兔子数每年增长10%，狐狸数每年减少15%，兔子数每年减少狐狸数的0.15倍，狐狸数每年增加兔子数的0.1倍
∴

R n =1.1 R n-1 -0.15 F n-1

F n =0.1 R n-1 +0.85 F n-1

(n≥1) …4’
（2）设

α n

=

R n

F n

， M=

1.1

0.1

-0.15

0.85

∴

α n

=M

α n-1

=M(M

α n-2

) =…= M n

α ∞

又矩阵M的特征多项式 f(λ)=

.	λ-1.1 -0.1

0.15 λ-0.85

.

=λ ² -1.95λ+0.95=（λ-1）（λ-0.95）
令f（λ）=0得：λ ₁ =1，λ ₂ =0.95
特征值λ ₁ =1对应的一个特征向量为

α 1

=

3

2

特征值λ ₂ =0.95对应的一个特征向量为

α 2

=

1

1

…6’
且

α 0

=

100

30

=70

3

2

-110

1

1

=70

α 1

-110

α 2

∴

α n

= M n α 0 =70

λ

n1

α 1

-110

λ

n2

α 2

= 70

3

2

-110•0.9 5 n

1

1

=

210-110•0.9 5 n

140-110•0.9 5 n

∴

R n =210-110•0.9 5 n

F n =140-110•0.9 5 n

…14’
（3）当n越来越大时，0.95 ⁿ 越来越接近于0，R _n ，F _n 分别趋向于常量210，140．即随着时间的增加，兔子与狐狸的数量逐渐增加，当时间充分长后，兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态．…2’