三角形ABC中点O是AC边上的一个点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交角BCA的外角平分线于F1:求证：OE=OF2：当O点运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论

Question

三角形ABC中点O是AC边上的一个点,过点O作直线MN平行BC,设MN交角BCA的平分线于点E,交角BCA的外角平分线于F
1:求证：OE=OF
2：当O点运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论

Answer 1

（1）在BC的延长线上取一点D.
　　　由EF∥BC得：∠BCE＝∠OEC,∠FCD＝∠OFC,
　　　而∠BCE＝∠OCE,∠FCD＝∠OCF,
　　　得：∠OCE＝∠OEC,∠OFC＝∠OCF,进而有：OC＝OE,OC＝OF,
　　　于是：OE＝OF.
（2）当点O运动到AC的中点时,AECF为矩形.证明如下：
　　　由OE＝OF,OA＝OC,可知：AECF是平行四边形.［对角线互相平分］
　　　∠ECF＝∠BCA/2＋∠ACD/2＝（∠BCD＋∠ACD）/2＝180°/2＝90°.
　　　所以AEFC是矩形.
　　　而当O不在AC中点时,对角线不互相平分,AEFC不可能是平行四边形,自然就不可能是矩形了.