已知f（x）=ex-1-x-ax2，当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知f（x）=e^x-1-x-ax²，当x≥0时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

令g（x）=e^x-1-x，g′（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．
故g（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加．
∴g（x）≥g（0）=0，
∴e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．
∵f′（x）=e^x-1-2ax，
∴f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤(1)/(2)时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
从而当a＞(1)/(2)时，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为（-∞，(1)/(2)]．