如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式；（3）当△APM

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC+8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B；

（1）求证：△ABP∽△PCM；
（2）设BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式；
（3）当△APM为等腰三角形时，求PB的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APM+∠CPM=∠B+∠BAP，
而∠APM=∠B，
∴∠BAP=∠CPM，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCM；
（2） BP=x，则PC=8-x，
∵△ABP∽△PCM，
∴PB：CM=AB：PC，即x：y=5：（8-x），
∴y=-(1)/(5)x²+(8)/(5)x；
（3） 当AP=AM时，则∠APM=∠AMC=∠B，而∠AMC>∠C，不合题意舍去；
当PA=PM时，
∴△ABP≌△PCM，
∴BP=CM，即x=y，
∴-(1)/(5)x²+(8)/(5)x=x，解得x₁=0，x₂=3，此时PB的长为3；
当MA=MP时，
∴∠APM=∠PAM，
∵∠APM=∠B=∠C，
∴△MAP∽△ABC，PA=PC=8-x
∴MA：AB=PA：BC，即（6-y）：6=（8-x）：8，
∴4y=3x，
即4（-(1)/(5)x²+(8)/(5)x）=3x，
整理得4x²-17x=0，解得x₁=0，x₂=(17)/(4)，此时PB的长为(17)/(4)，
综上所述，PB的长为3或(17)/(4)．