在三角形abc中角B=2角C,点D为线段BC上一动点,当AD满足某种条件时

Question

在三角形abc中 角B=2角C,点D为线段BC上一动点,当AD满足某种条件时

Answer 1

在三角形ABC中,角B=2角C,点D为线段BC上一动点,当AD满足某种条件时,探讨在线段AB、BD、CD、AC四条线段中,某两条或某三条线段之间存在的数量关系.例如,在图1中,当AB=BD时可证得AB=DC.现在继续探索：当AD是角BAC的角平分线时,判断AB,BD,DC的数量关系,并证明
回答：
在DC上截取DM=BD,连接AM．
在△ABD与△AMD中,
AD=DA
∠ADB=∠ADM=90°
∴△ABD≌△AMD（SAS）,
∴AB=AM,
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C,∠B=2∠C,
∴∠C=∠MAC,
∴AM=MC,
∴MC=AB,
则AB+BD=DC；
在AC上截取AM=AB,连接DM．
在△ABD和△AMD中,
AB=AM
∠BAD=MAD
AD=AD
∴△ABD≌△AMD（SAS）,
∴∠B=∠AMD．
∵∠B=2∠C（已知）,∠AMD=∠C+∠MDC（外角定理）,
∴∠C=∠MDC（等量代换）,
∴DM=MC,则MC=BD,
则AB+BD=AC．