证明：当n为自然数时,2（2n+1)的形式的数不能表示为两个整数的平方差.

Question

证明：当n为自然数时,2（2n+1)的形式的数不能表示为两个整数的平方差.

Answer 1

反证法
首先：2 能整除 2(2n+1) ,但 4 不能整除 2（2n+1）
假设 2（2n+1)的形式的数能表示为两个整数的平方差,
设两个整数分别为：p,q; 令：k=q-p ; p,q,k∈Z,
则q=p+k ,两个整数的平方差必可表示为：
(p+k)^2 -p^2 = 2pk +k^2 = k(2p+k)
但当 k 是偶数时,2p+k 也是偶数,故 4 | 2p+k
但当 k 是奇数时,2p+k 也是奇数,故 2 不能整除 2p+k
故与 2 能整除 2(2n+1) ,但 4 不能整除 2（2n+1）矛盾!
所以 2（2n+1)的形式的数不能表示为两个整数的平方差.