设D是一有界闭域，函数f（x，y）在D上连续，在D内偏导数存在，且满足等式∂f(x，y)∂x+2∂f(x，y)∂y=-f（x，y），若f（x，y）在D的边界上恒为零，则f（x，y）在D上（）A．存在非零的最大

Question

设D是一有界闭域，函数f（x，y）在D上连续，在D内偏导数存在，且满足等式(∂f(x，y))/(∂x)+2(∂f(x，y))/(∂y)=-f（x，y），若f（x，y）在D的边界上恒为零，则f（x，y）在D上（　　）

A．存在非零的最大值
B．存在非零的最小值
C．只在边界上取到最大值和最小值
D．能在边界上取到最大值和最小值

Answer 1

A错误：
因为f（x，y）在D的边界上恒为零，故如果f（x，y）存在非零的最大值，则最大值在内部取到．假设f（x，y）在D内某点P₀（x₀，y₀）取得最大值M＞0，则P₀为极大值点，从而(∂f)/(∂x)|P0=(∂f)/(∂y)|P0=0．
由已知条件(∂f(x，y))/(∂x)+2(∂f(x，y))/(∂y)=-f（x，y）可得，f（x₀，y₀）=0，与M=f（x₀，y₀）＞0矛盾．
B错误：类似于A可证选项B错误．
C错误：由A、B的分析可得，f（x，y）不存在非零最大值，也不存在非零最小值，从而f≡0．故最值可以在边界取得，也可以在内部取到．
D正确：由选项C的分析，f≡0，故最值可以在边界上取得最大值与最小值．
故选：D．