一个单调递减数列X的极限为A如何证明A为其下确界

Question

一个单调递减数列X的极限为A如何证明A为其下确界

Answer 1

1、先证A为下界
任取数列中一项Xn0,若Xn00,（n0为下标）
取ε=A-Xn0,则由于Xn为递减数列,则对于所有的n>n0时,有A-Xn>A-Xn0=ε,
则A不是Xn的极限,矛盾.因此Xn0≥A,由Xn0的任意性,A必为下界.
2、再证A是下确界（最大下界）
假设存在B>A,且B也是Xn的下界,即：Xn≥B
由极限的保号性,知 limXn≥B>A,矛盾,因此A必为最大下界,即下确界.
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