设f(x)在[a,b]上处处可微,f'(x)在[a,b]上有界变差,求证:f'(x)在[a,b]上连续

Question

设f(x)在[a,b]上处处可微,f'(x)在[a,b]上有界变差,求证:f'(x)在[a,b]上连续

Answer 1

主要用两个结论:
1.若f(x)处处可导,则f'(x)没有第一类间断点.
2.有界变差函数的间断点都是第一类间断点.
综合二者即知f'(x)没有间断点,即连续.
至于1的证明,可以用Lagrange中值定理(或L'Hospital法则)证明:
若lim{x→a+} f'(x)存在,则等于f'(a+) (右导数).
同理,lim{x→a-} f'(x)存在,则等于f'(a-).
由f'(a-) = f'(a) = f'(a+)即知f'(x)在x = a处连续.
因此f'(x)没有第一类间断点.
2是因为有界变差函数可以表为两个单调函数之差,而单调函数的间断点都是第一类间断点.