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在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D.(1)如图1,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,过D作DF⊥AC于F,DM=DN,证明:AM+AN=2AF;(2)如图2,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°,ND∥AB,求四边
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在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D.
(1)如图1,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,过D作DF⊥AC于F,DM=DN,证明:AM+AN=2AF;
(2)如图2,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°,ND∥AB,求四边形AMDN的周长.
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(1)如图1,∠MDN的两边分别与AB、AC相交于M、N两点,过D作DF⊥AC于F,DM=DN,证明:AM+AN=2AF;
(2)如图2,若∠C=90°,∠BAC=60°,AC=9,∠MDN=120°,ND∥AB,求四边形AMDN的周长.
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)过点D作DG⊥AB于G,如图1,
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,
∴DF=DG,
在Rt△DFN和Rt△DGM中,
∴Rt△DFN≌Rt△DGM(HL),
∴MG=NF
又∵AG=AF,
∴AM+AN=AG+MG+AN=AF+NF+AN=2AF;
(2)过点D作DE⊥AB于E,如图2,
在四边形ACDE中,∠EDC=360°-60°-90°-90°=120°,
∴∠EDN+∠MDE=120°,
又∠EDN+∠NDC=120°,
∴∠MDE=∠NDC,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
在△MDE和△NDC中,
,
∴△MDE≌△NDC(ASA),
∴DM=DN,
∵ND∥AB,
∴∠NDC=∠B=30°,∠DNC=60°,
∴∠MDB=180°-120°-30°=50°,
∴△MDB为等腰三角形,
∴MB=MD,
∴∠ADM=90°,
∴AM=2DM,
在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴AB=2AC=18,AM=
AB=12,BM=
AB=DM=6,
同理:AN=DN=DM=6,
∴四边形AMDN的周长为12+6+6+6=30.
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∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,
∴DF=DG,
在Rt△DFN和Rt△DGM中,
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∴Rt△DFN≌Rt△DGM(HL),
∴MG=NF
又∵AG=AF,
∴AM+AN=AG+MG+AN=AF+NF+AN=2AF;
(2)过点D作DE⊥AB于E,如图2,
在四边形ACDE中,∠EDC=360°-60°-90°-90°=120°,
∴∠EDN+∠MDE=120°,
又∠EDN+∠NDC=120°,
∴∠MDE=∠NDC,
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DC,
在△MDE和△NDC中,
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∴△MDE≌△NDC(ASA),
∴DM=DN,
∵ND∥AB,
∴∠NDC=∠B=30°,∠DNC=60°,
∴∠MDB=180°-120°-30°=50°,
∴△MDB为等腰三角形,
∴MB=MD,
∴∠ADM=90°,
∴AM=2DM,
在Rt△ABC中,∠B=30°,
∴AB=2AC=18,AM=
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同理:AN=DN=DM=6,
∴四边形AMDN的周长为12+6+6+6=30.
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