（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．（1）求证：AP=AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE=38AC，AB=10时，求线段BO的

题目详情

（2014•眉山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE=OC．
（1）求证：AP=AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AE=

AC，AB=10时，求线段BO的长度．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：∵∠C=90°，∠BAP=90°
∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠CBO=∠ABP，
∴∠BOC=∠APB，
∵∠BOC=∠AOP，
∴∠AOP=∠APB，
∴AP=AO；

（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO=∠ABP，
∴CO=DO，
∵AE=OC，

∴AE=OD，
∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，
∴∠AOD=∠PAE，
在△AOD和△PAE中，

AE＝OD

∠AOD＝∠PAE

AP＝AO

，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP=∠ADO=90°
∴PE⊥AO；

（3）设AE=OC=3k，
∵AE=

AC，∴AC=8k，
∴OE=AC-AE-OC=2k，
∴OA=OE+AE=5k．
由（1）可知，AP=AO=5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．
在Rt△AOD中，AD=

AO2−OD2

(5k)2−(3k)2

=4k．
∴BD=AB-AD=10-4k．
∵OD∥AP，
∴

＝

，即

＝

10−4k

解得k=1，
∵AB=10，PE=AD，
∴PE=AD=4K，BD=AB-AD=10-4k=6，OD=3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO=

BD2+OD2