已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证：点P在直线l上的充要条件是向量OP=x向量OA+y向量OB,其中x,y∈R,且x+y=1.

Question

已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证：点P在直线l上的充要条件是向量OP=x向量OA+y向量OB,其中x,y∈R,且x+y=1.

Answer 1

先证明充分条件,已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,向量OP=x向量OA+y向量OB,其中x,y∈R,且x+y=1.求证：点P在直线l上.证明向量OP=x向量OA+y向量OB=x向量OA+向量OB-x向量OB=x(向量OA-向量OB)+向量OB.因为A,B是直线l上任意两点,向量x(向量OA-向量OB)在AB直线上,所以只要将其起点移到向量OB的B点,可由向量加法的三角形法则,可知P点在直线l上再证明必要条件.已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,点P在直线l上则有向量OP=x向量OA+y向量OB,其中x,y∈R,且x+y=1.向量OP+向量PB=向量OB,向量OP+向量PA=向量OA由于向量PB和向量PA都直线l上,所以存在实数a,使a向量PB=向量PA（a不等于1,否则A,B是同一点）向量OP+向量PB=向量OB,向量OP+a向量PB=向量OA
向量PB=向量OB-向量OP向量OP+a向量OB-a向量OP=向量OA向量OP（1-a）=向量OA-a向量OB向量OP=向量OA/（1-a）+向量OB［（-a）/（1-a）］令x=1/（1-a）,y=（-a）/（1-a）即证.