三重积分的题要求能解释。设Ω是球面Σ:x²+y²+z²=R²所围成的闭区域，∫∫∫(x²+y²+z²)dv为多少，可不可以直接带入x²+y²+z²=R²这个式子，求详细解答

Question

三重积分的题 要求能解释。
设Ω是球面Σ:x²+ y²+ z²=R²所围成的闭区域，∫∫∫(x²+y²+z²)dv为多少，可不可以直接带入x²+ y²+ z²=R²这个式子，求详细解答

Answer 1

原式=∫<0,2π>dθ∫<0,π>sinφdφ∫<0,R>r^2*r^2dr (作球面坐标变换)
=(2π-0)(cos0-cosπ)(R^5/5-0)
=4πR^5/5。