（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线

Question

（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．

Answer 1

（1）设抛物线为y=a（x-4）²-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）²-1，a＝(1)/(4)；
∴抛物线为y＝(1)/(4)(x−4)2−1＝(1)/(4)x2−2x+3；（3分）
（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当(1)/(4)(x−4)2−1＝0时，x₁=2，x₂=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=

22+32

=

13

，BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BEC，
∴(AB)/(BC)=(OB)/(CE)，即(13)/(4)=(2)/(CE)，解得CE=(813)/(13)，
∵(813)/(13)＞2，
故抛物线的对称轴l与⊙C相交．（7分）
（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y＝−(1)/(2)x+3；（8分）
设P点的坐标为（m，(1)/(4)m2−2m+3），
则Q点的坐标为（m，−(1)/(2)m+3）；
∴PQ=-(1)/(2)m+3-（(1)/(4)m²-2m+3）=-(1)/(4)m²+(3)/(2)m．
∵S_△PAC=S_△PAQ+S_△PCQ=(1)/(2)×（-(1)/(4)m²+(3)/(2)m）×6
=-(3)/(4)（m-3）²+(27)/(4)；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为(27)/(4)；
此时，P点的坐标为（3，−(3)/(4)）．（10分）