（2006•湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1−污物质量物体质量(含污物)）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方

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（2006•湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1−

污物质量

物体质量(含污物)

）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是

x+0.8

x+1

（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是

y+ac

y+a

，其中c（0.8＜c＜0.99）是该物体初次清洗后的清洁度．
（Ⅰ）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响．

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答案和解析

（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，由题设有

x+0.8

x+1

=0.99，
解得x=19．
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y满足方程：

y+0.95a

y+a

＝0.99，
解得y=4a，故z=4a+3．
即两种方案的用水量分别为19与4a+3．
因为当1≤a≤3时，x-z=4（4-a）＞0，
即x＞z，
故方案乙的用水量较少．
（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似（I）得
x＝

5c−4

5(1−c)

，y=a（99-100c）（*）
于是x+y＝

5c−4

5(1−c)

+a（99-100c）=

5(1−c)

+100a(1−c)−a−1
当a为定值时，x+y≥2

5(1−c)

×100a(1−c)

−a−1＝−a+4

−1，
当且仅当

5(1−c)

＝100a(1−c)时等号成立．
此时c＝1+

(不合题意，舍去)或c＝1−

∈(0.8，0.99)，
将c＝1−

代入（*）式得x＝2