抛物面Z=X*X+Y*Y被平面X+Y+Z=1截成一椭圆,求远点到这椭圆的最长距离和最短距离?答案是最长距离√￣（9+5√￣3））,最短距离√￣（9-5√￣3））,还有,为什么不能消去Z,得到一个关于X,Y的圆的方

Question

抛物面Z=X*X+Y*Y被平面X+Y+Z=1截成一椭圆,求远点到这椭圆的最长距离和最短距离?
答案是最长距离√￣（9+5√￣3））,最短距离√￣（9-5√￣3））,还有,为什么不能消去Z,得到一个关于X,Y的圆的方程做?

Answer 1

不能消去Z,得到一个关于X,Y的圆的方程做!
因为消去Z得到的关于X,Y的圆的方程是椭圆在XY平面的投影,自然你用X,Y的圆的方程所求的最长距离和最短距离就不是原点到这椭圆的最长距离和最短距离.
以d记为原点到点(x,y,z)的距离,则：d^2=x^2+y^2+z^2.问题相当于求条件极值：
Max d^2 ,z=x^2+y^2 ,x+y+z=1 .
作拉格朗日函数L=x^2+y^2+z^2+λ(x^2+y^2-z)+μ(x+y+z-1)
可求得方程组：
Lx=2(λ+1)x+μ=0 ①; ( Lx表示对X求偏导) ；
Ly=2(λ+1)y+μ=0 ②; ( Ly表示对X求偏导)；
Lz=2z-λ+μ=0 ③; ( Lz表示对X求偏导)；
x^2+y^2-z=0 ④;
x+y+z-1=0 ⑤;
联立小曲λ,μ可解得：
x=y=(-1+√3)/2 ; z=2-√3 ；
或者 x=y=(-1-√3)/2 ; z=2+√3 ；
于是可求得：
dMAX=√(9+5√3) ; dMIN=√(9-5√3) .