如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若以CEF为顶点的△与以ABC为顶点的三角形相似且AC=3，BC=4时，则AD的长为．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若以CEF为顶点的△与以ABC为顶点的三角形相似且AC=3，BC=4时，则AD的长为______．

Answer 1

若△CEF与△ABC相似，分两种情况：
①若CE：CF=3：4，如图1所示．
∵CE：CF=AC：BC，
∴EF∥AB．
由折叠性质可知，CD⊥EF，
∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=√(AC2+BC2)=5，
∴cosA=(AC)/(AB)=(3)/(5)，
∴AD=AC•cosA=3×(3)/(5)=1.8；
②若CF：CE=3：4，如图2所示．
∵△CEF∽△CBA，
∴∠CEF=∠B．
由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠ECD，
∴AD=CD．
同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，
∴D点为AB的中点，
∴AD=(1)/(2)AB=(1)/(2)×5=2.5．
综上所述，AD的长为1.8或2.5．
故答案为1.8或2.5．