此极限题为什么不能用抓大头做?limx趋于正无穷（1^2+2^2+.+x^2）/(x^3)分子分母都趋于正无穷啊,.为什么不能用抓大头做?

Question

此极限题为什么不能用抓大头做?
limx趋于正无穷 （1^2+2^2+.+x^2）/(x^3)
分子分母都趋于正无穷啊,.为什么不能用抓大头做?

Answer 1

原因：分子上的相加的项数是不固定的.比如x = 10时,有10项相加,当n=20时,有20项相加.而你说的“抓大头”,我想是指对于一个固定的多项式,如x^2+5x+3这样的形式,可以只看首项x^2.
更一般的说,是有lim (x^2+5x+3)/x^2 ＝ 1,所以抓大头的方法才有合理性,因为除了最高次以外,其它项的极限都是0.但是题目中的项数在增长,就是有无穷多个无穷小相加,和不一定是无穷小!
正确的做法：用平方和公式：1+2^2 + ...+ x^2 = 1/6*x(x+1)(2x+1),或用积分估计：
[0到x积分](t^2 dt) = 1/3 * x^3