如图所示，把一些长度均为4米（PA+PB=4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，A

Question

如图所示，把一些长度均为4米（PA+PB=4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k(x+y)/(√(x2+y2))，若k越大，则“舒适感”越好．
（Ⅰ）求“舒适感”k的取值范围；
（Ⅱ）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH=t，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）．

Answer 1

（Ⅰ）k=(x+y)/(√(x2+y2))=√((x2+2xy+y2)/(x2+y2))=√(1+(2xy)/(x2+y2))，
∵x²+y²≥2xy，∴(2xy)/(x2+y2)≤1，（当x=y时，取“=”），
∴k≤√(2)；
∵(2xy)/(x2+y2)＞0，
∴k＞1；
∴k的取值范围是（1，√(2)]；
（Ⅱ）由PA+PB=4及（Ⅰ）的结论，得√(((1)/(2)y+t)2+y2)+√(((1)/(2)y−t)2+y2)=4，
∴√(((1)/(2)y+t)2+y2)=4-√(((1)/(2)y−t)2+y2)，
两边平方，化简得y=4√((4−t2)/(20−t2))，
当H与M重合时，t=0；当H与A重合时，有PA=AB=y，∴y²+y²=（4-y）²，∴y=4√(2)-4，即t=2√(2)-2；
∴y=4√(1−(16)/(20−t2))（0≤t≤2√(2)-2）；
∵0≤t≤2√(2)-2，∴(16)/(20−t2)∈[(4)/(5)，2√(2)-2]；
∴1-(16)/(20−t2)∈[3-2√(2)，(1)/(5)]，
∴y_max=(4√(5))/(5)，此时t=0．