若三个均为整数的正方体之和为564平方厘米那么三个体积为多少?

Question

若三个均为整数的正方体之和为564平方厘米那么三个体积为多少?

Answer 1

设这三个正方体的棱长分别为a,b,c,则有6(a2+b2+c2)=564,a2+b2+c2=94,不妨设1≤a≤b≤c＜10,从而3c2≥a2+b2+c2=94,c2＞31.故6≤c＜10.c只能取9,8,7,6.
若c=9,则a2+b2=94-81=13,易知a=2,b=3,得一组解(a,b,c)=(2,3,9).
若c=8,则a2+b2=94-64=30,b≤5.但2b2≥30,b≥4,从而b=4或5.若b=5,则a2=5无解,若b=4,则a2=14无解.此时无解.
若c=7,则a2+b2=94-49=45,有唯一解a=3,b=6.
若c=6,则a2+b2=94-36=58,此时2b2≥a2+b2=58,b2≥29.故b≥6.但b≤c=6,故b=6,此时a2=58-36=22无解.
综上,共有两组解
体积为V1=23+33+93=764cm3或V2=33+63+73=586cm3