有99筐装着苹果和桃子（混装）,证明：可取50筐的总苹果数,总桃子数均不少于总数的一半.

Question

有99筐装着苹果和桃子（混装）,证明：可取50筐的总苹果数,总桃子数均不少于总数的一半.

Answer 1

按照筐中的桃子数由多到少的顺序将99个筐编号为1、2、3、…、97、98、99.设第i筐中的桃子数为xi,苹果数为yi.则
x1≥x2≥x3≥x4≥…≥x97≥x98≥x99.
把编号为1的筐挑出来,余下的进行分组：
A组：x2,x4,…,x96,x98,苹果总数xA=x2＋x4＋…＋x96＋x98;
B组：x3,x5,…,x97,x99,苹果总数xB=x3＋x5＋…＋x97＋x99.
易得xA≥xB.又得xB=x3＋x5＋…＋x97＋x99≥x4＋x6＋…＋x96＋x98+x99=xA－x2+x99.
设A、B两组中的苹果总数为yA、yB,则yA≥yB,或者yA≤yB.
⑴若yA≥yB,则y1+ yA≥yB,x1+ xA≥xB,A组加第1筐即为所求的满足条件的50筐；
⑵若yA≤yB,则y1+ yB≥yA,x1+ xB= xA＋x1－x2+x99≥xA.B组加第1筐即为所求的满足条件的50筐.
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