若1+2+……+n的和恰好是1个各位数字均相等的三位数,求n可能是多少?

Question

若1+2+……+n的和恰好是1个各位数字均相等的三位数,求n可能是多少?

Answer 1

依题意：1+2+...+n=n(n+1)/2=111*k (k=1,2,...,9)
111*k即代表各位数字均相等的三位数,
因为111=3*37（质因数分解）
而n(n+1)=111*k*2=3*2*k*37
要使之凑成两个相邻自然数的乘积只有k=6时有36*37=3*2*6*37
此时的三位数为666,n为36.
可以证明k为其他数时都不行.