弱弱的问一下jensen不等式什么时候取等号?

Question

弱弱的问一下jensen不等式什么时候取等号?

Answer 1

取决于函数的凸性是不是严格的.
如果f(x)满足对任意x1 ≠ x2,都有f((x1+x2)/2) < (f(x1)+f(x2))/2.
那么f(x)的Jensen不等式只有在各变量都相等时取等.
因为若x1 ≠ x2,以两个(x1+x2)/2代替x1,x2可使一端取值严格减小,同时另一端不变.
如果存在x1 ≠ x2使f((x1+x2)/2) = (f(x1)+f(x2))/2.
作为凸性的结果,f(x)在x1,x2之间是线性的.
当各变量都落在该区间内时,Jensen不等式总是取等的.
一般的取等条件是:所有变量都相等,或所有变量都落在同一线性区间.