微分方程y’-y=1的通解是?我用特征方程算的是y=ce^x.答案是y=ce^x-1.那个-1是怎么来的呢?

Question

微分方程y’-y=1的通解是?我用特征方程算的是y=ce^x.答案是y=ce^x-1.那个-1是怎么来的呢?

Answer 1

y’-y=0时为一阶齐次方程,齐次方程的解为y=Ce^x.
如果y’-y=f(x),我们要求其“特解”.
在这里,特解为-1.
所以,微分方程的全解为“齐次解”+“特解”=y=Ce^x-1.
通常情况下,若f(x)为n次多项式,其特解的形式必为n次多项式；
比如y’-y=x^2+1
设f(x)=x^2+3x+1,其特解的形式则=g(x)=ax^2+bx+c；
把g(x)带入y,得到
2ax+b+ax^2+bx+c=x^2+3x+1
ax^2+(2a+b)x+(b+c)=x^2+3x+1
比较两边系数,得到a=1,b=1,c=0,所以g(x)=x^2+x
我们知道此微分方程的“齐次解”为y=Ce^x,“特解”为x^2+x,
所以全解为y=Ce^x+x^2+x.
在y'-y=1中,f(x)为0次多项式.