求微分方程的通解..y^3*y``+1=0,y(1)=1,y`(1)=0其中y`为y的一阶导数,y``为二阶导数

Question

求微分方程的通解..
y^3*y``+1=0,y(1)=1,y`(1)=0
其中y`为y的一阶导数,y``为二阶导数

Answer 1

y^3*y``+1=0
令p=dy/dx
y''=p'=dp/dx=dp/dy*dy/dx=dp/dy*p
原式化为
y^3*p*dp/dy+1=0
化为关于y的微分方程
分离变量得
pdp=-dy/y^3
两边积分得
1/2p^2=1/(2y^2)+C1
p^2=1/(y^2)+2C1
y(1)=1,y`(1)=0
2C1=-1
y'^2=p^2=1/(y^2)-1
y'=±√(1-y^2)/y
ydy/√(1-y^2)=±dx
d(1-y^2)/√(1-y^2)=±2dx
2√(1-y^2)=±2x+C
y(1)=1代入2√(1-y^2)=2x+C得
C=-2,2√(1-y^2)=2x-2,即√(1-y^2)=x-1,1-y^2=(x-1)^2 (x>1)
y(1)=1代入2√(1-y^2)=-2x+C得
C=2,2√(1-y^2)=2x+2,即√(1-y^2)=x+1,1-y^2=(x-1)^2 (x>-1)
因此微分方程的特解是
1-y^2=(x-1)^2 (x>1)
1-y^2=(x-1)^2 (x>-1)