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求微分方程y″-y=4xex的通解.
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求微分方程y″-y=4xex的通解.
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答案和解析
对应齐次方程的特征方程为r2-1=0,
解得特征根为r1=1,r2=-1,
∴齐次通解为 Y=C1ex+C2e−x
而f(x)=4xex,其中λ=1是特征根
∴可设待定特解 y*=x(ax+b)ex,代入原方程得
2a+2(2ax+b)=4x,
比较系数得 a=1,b=-1,从而
y*=(x2-x)ex,
原方程的通解为 y=C1ex+C2e−x+(x2−x)ex.
解得特征根为r1=1,r2=-1,
∴齐次通解为 Y=C1ex+C2e−x
而f(x)=4xex,其中λ=1是特征根
∴可设待定特解 y*=x(ax+b)ex,代入原方程得
2a+2(2ax+b)=4x,
比较系数得 a=1,b=-1,从而
y*=(x2-x)ex,
原方程的通解为 y=C1ex+C2e−x+(x2−x)ex.
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