试各构造一个4元域,8元域和9元域,写出其加法和乘法表,其中非零元的逆元和阶.⊙o⊙

Question

试各构造一个4元域,8元域和9元域,写出其加法和乘法表,其中非零元的逆元和阶.
⊙ o ⊙

Answer 1

K4,是四元域,1,i,j,k,很容易找到ij=jk=ik=-1,其他的应该相似的构造,或许用到矩阵
四元域的构造是由二元域上的多项式环模一个二次不可约多项式得到的,比如可以取二次不可约多项式p(x)=x^2+x+1,则四元域是Z2[x]/={0,x,1,x+1},其中,x,1,x+1都是二阶的.x和x+1互为逆,1的逆是1.
其它的有限域都可以用这种方法来构造,也就是有限域的结构定理所说的:对任意素数p和正整数n,一定存在一个含有p^n个元素的有限域.
K4,是四元域,1,i,j,k,很容易找到ij=jk=ik=-1,其他的应该相似的构造,或许用到矩阵四元域的构造是由二元域上的多项式环模一个二次不可约多项式得到的,比如可以取二次不可约多项式p(x)=x^2+x+1,则四元域是Z2[x]/={0,x,1,x+1},其中,x,1,x+1都是二阶的.x和x+1互为逆,1的逆是1.
其它的有限域都可以用这种方法来构造,也就是有限域的结构定理所说的:对任意素数p和正整数n,一定存在一个含有p^n个元素的有限域.