设函数f（x）=ax-（k-1）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k值；（Ⅱ）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4-x）＜0恒成立的实数t的取值范围；（Ⅲ）若f（1）=32，且g（x）=a2x+

Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（Ⅰ）求k值；
（Ⅱ）若f（1）＜0，求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的实数t的取值范围；
（Ⅲ）若f（1）=(3)/(2)，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求实数m的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2，
经检验知：k=2满足题意；
（Ⅱ）f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a−(1)/(a)＜0，
又a＞0，且a≠1，∴0＜a＜1，
∵a^x单调递减，a^-x单调递增，故函数f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x²+tx）＜f（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即x²+（t-1）x+4＞0恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（Ⅲ）∵f(1)＝(3)/(2)，
∴a−(1)/(a)＝(3)/(2)，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=−(1)/(2)（舍去）．
∴g（x）=a^2x+a^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，
由（Ⅰ）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，
∵x≥1，∴t≥f（1）=(3)/(2)，
令h(t)＝t2−2m+2＝(t−m)2+2−m2(t≥(3)/(2))，
若m≥(3)/(2)，当t=m时，h(t)min＝2−m2＝−2，∴m=2；
若m＜(3)/(2)，当t=(3)/(2)时，h(t)min＝(17)/(4)−3m＝−2，解得m＝(25)/(12)＞(3)/(2)，故舍去．
综上可知m=2．