已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1或a

Question

已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=，若关于x的方程5[f（x）]²﹣（5a+6）f（x）+6a=0（a∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）

A．0＜a＜1或a=    B．0≤a≤1或a=    C．0＜a≤1或a=    D．1＜a≤或a=0

　

Answer 1

C考点： 函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断；分段函数的应用．

专题： 数形结合；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．

分析： 运用偶函数的定义可得f（x）在x＜0的解析式，作出函数f（x）的图象，由5[f（x）]²﹣（5a+6）f（x）+6a=0，解得f（x）=a或f（x）=，结合图象，分析有且仅有6个不同实数根的a的情况，即可得到a的范围．

函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，

当x≥0时，f（x）=，

当x＜0时，f（x）=．

作出函数f（x）的图象如右．

由于关于x的方程5[f（x）]²﹣（5a+6）f（x）+6a=0，

解得f（x）=a或f（x）=，

当0≤x≤1时，f（x）∈[0，]，x＞1时，f（x）∈（1，）．

由1＜＜，则f（x）=有4个实根，

由题意，只要f（x）=a有2个实根，

则由图象可得当0＜a≤1时，f（x）=a有2个实根，

当a=时，f（x）=a有2个实根．

综上可得：0＜a≤1或a=．

故选：C．

点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查方程和函数的转化思想，运用数形结合的思想方法是解决的常用方法．