排列组合一个问题偶然看到一个题目:10块相同的糖分给4个小朋友,允许有人分不到,请问有多少种分法.答案是286有什么简便易懂的方法解答吗?

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排列组合一个问题
偶然看到一个题目: 10块相同的糖分给4个小朋友,允许有人分不到,请问有多少种分法.答案是286 有什么简便易懂的方法解答吗?

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答案和解析

首先转化问题,我们设第i个小朋友分到ai个糖,则a1+a2+a3+a4=10,ai>=0,即求不定方程的解个数.然后我们令bi=ai+1,则方程化为b1+b2+b3+b4=14,bi>=1.
我们把14块糖依次排好,然后用3根筷子去分离这14块糖,使得糖成为四份,第i份就是bi.那么有多少种筷子插入14块糖的方法就有多少个解.由于每一份至少一个,所以筷子不能放在同一个空挡中.所以一共14块糖,有13个空挡,从中取出3个空挡插入筷子.一共C(3,13)=286种分法

（图中没有14块糖,只是模拟一下,更加好看）

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