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求In=∫(tanx)^ndx的递推公式
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求In=∫(tanx)^ndx的递推公式
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答案和解析
f(n) = ∫ (tanx)^n dx = ∫ (tanx)^(n - 2) * tan²x dx
= ∫ (tanx)^(n - 2) * (sec²x - 1) dx
= ∫ (tanx)^(n - 2) * sec²x dx - f(n - 2)
= ∫ (tanx)^(n - 2) d(tanx) - f(n - 2)
= (tanx)^(n - 2 + 1)/(n - 2 + 1) - f(n - 2)
= [(tanx)^(n - 1)]/(n - 1) - f(n - 2)
= ∫ (tanx)^(n - 2) * (sec²x - 1) dx
= ∫ (tanx)^(n - 2) * sec²x dx - f(n - 2)
= ∫ (tanx)^(n - 2) d(tanx) - f(n - 2)
= (tanx)^(n - 2 + 1)/(n - 2 + 1) - f(n - 2)
= [(tanx)^(n - 1)]/(n - 1) - f(n - 2)
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