求教一道高中数学自招题若an属于R,a1+a2+...+a2013=0,|a1-2a2|=|a2-2a3|=..=|a2013-2a1|,求证:a1=a2=a3=...=a2013=0提示：用反证法.

Question

求教一道高中数学自招题
若an属于R,a1+a2+...+a2013=0,|a1-2a2|=|a2-2a3|=..=|a2013-2a1|,求证:a1=a2=a3=...=a2013=0
提示：用反证法.

Answer 1

直接的证明可以么?可以直接证的话我想没必要反证吧?
记:di=ai-2a(i+1),i=1...2012.d2013=a2013-2a1.
于是有|d1|=|d2|=...=|d2013|=d>=0
由a1+a2+...+a2013=0得:
(1):d1+d2+...d2013=0.
因此对任一di与dj(i!=j)而言,它们只相差一个正负号.
记di=sgn(di)*d.sgn(di)为1或者-1.
于是由(1)得:
d*(sgn(d1)+...+sgn(d2013))=0
由于2013是奇数.括号和不为0.
因此必有d=0.因此有:
a1=2a2,a2=2a3...如此下去.
那么便有:
a1=2^(2012)*a2013.
a2013=2a1.
得出a1=0.于是有a1=a2=...a2013=0.