为使两点数值求积公式：具有最高的代数精度.则求积节点=?,=?,求积系数=?

Question

为使两点数值求积公式：具有最高的代数精度.则求积节点=?,=?,求积系数=?

Answer 1

设有n+1个求积结点,对于求积公式
∫{a,b}f(x)dx=∑{i=0,n}λi*f(xi) ①
要使①式具有m次代数精度,则要求f(x)为1,x,x^2,x^3,...,x^m时求积公式准确成立,即
∑{i=0,n}λi=∫{a,b}1dx=b-a
∑{i=0,n}λi*xi=∫{a,b}xdx=1/2*(b^2-a^2)
∑{i=0,n}λi*(xi)^2=∫{a,b}x^2dx=1/3*(b^3-a^3)
∑{i=0,n}λi*(xi)^3=∫{a,b}x^3dx=1/4*(b^4-a^4)
...
∑{i=0,n}λi*(xi)^m=∫{a,b}x^mdx=1/(m+1)*[b^(m+1)-a^(m+1)]
该非线性方程组中未知数为λi与xi,i=0,1,...n,总共有2*(n+1)个
因此,要求出所有未知数,最多有2*(n+1)个方程,此时m=2*n+1
即最高代数精度为2*n+1
由于原题为两个求积结点,故n=1,最高代数精度m=2*n+1=3
令a=-1,b=1,则方程组为
∑{i=0,1}λi =λ₀+λ₁=2 ②
∑{i=0,n}λi*xi =λ₀*x₀+λ₁*x₁=0 ③
∑{i=0,n}λi*(xi)²=λ₀*(x₀)²+λ₁*(x₁)²=2/3 ④
∑{i=0,n}λi*(xi)³=λ₀*(x₀)³+λ₁*(x₁)³=0 ⑤
不妨设a≤x₀