求曲线y=3-|x^2-1|与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体

Question

求曲线y=3-|x^2-1|与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体

Answer 1

|x| < 1: y = 3 - (1 - x²) = x² + 2

|x| ≥ 1: y = 3 - (x² - 1) = 4 - x²

y = 0, x = ±2

与x轴交于A(2, 0), B(-2, 0)

y = 3, x = ±1,曲线与y = 3交于C(1, 3), D(-1, 3)

曲线与x轴围成的封闭图形在A, B, C, D之间

显然旋转体关于y轴对称, 这里只考虑0 ≤ x ≤2,结果加倍即可.

(a) 取x, 0 ≤ x ≤1

旋转体的截面是以3为外径(y= 3与x轴的距离), 以1- x²为内径(y = 3与y = x² + 2的距离)的圆环

截面积S = π[3² - (1 - x²)²]

v1 = ∫₀¹Sdx = ∫₀¹π[3² - (1 - x²)²]dx

= π∫₀¹(8 + 2x² - x⁴)dx

= π(8x + 2x³/3 - x⁵/5)|₀¹

= 127π/15

(b) 取x, 1 ≤ x ≤2

旋转体的截面是以3为外径(y= 3与x轴的距离), 以x² - 1为内径(y = 3与y = 4 - x²的距离)的圆环

截面积S = π[3² - (1 - x²)²]

v2 = ∫₁²Sdx = ∫₁²π[3² - (x² - 1)²]dx

= π∫₁²(8 + 2x² - x⁴)dx

= π(8x + 2x³/3 - x⁵/5)|₁²

= 97π/15

V= 2(v1 + v2)

= 448π/15