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设集合Sn={1,2,3,,n),若X是Sn的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为Sn的奇(偶)子集.(I)写出S4的所有奇子
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设集合S n ={1,2,3,,n),若X是S n 的子集,把X中所有元素的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S n 的奇(偶)子集. (I)写出S 4 的所有奇子集; (Ⅱ)求证:S n 的奇子集与偶子集个数相等; (Ⅲ)求证:当n≥3时,S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. |
▼优质解答
答案和解析
(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析 |
试题分析:(I)根据奇子集的定义可直接得出,注意应按规律一一列出以防重写或漏写。(Ⅱ)取S n 的任意一个奇子集 可能含有1也可能不含1,当奇子集 含有1时,令 ,当奇子集 不含1时,令 ,则 为 的偶子集,且 与 相对应,反之也成立。因为 与 相对应即S n 的奇子集与偶子集个数相等。(Ⅲ)由(Ⅱ)知S n 的奇子集与偶子集个数相等,且S n 中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的,所以S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。 试题解析:(I) (Ⅱ)对于S n 的每个奇子集 , 当 时,取 ;当 时,取 。 则 为 的偶子集。 反之,若 为 的偶子集, 当 时,取 ;当 时,取 。 则 为 的奇子集。 的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系,所以 的奇子集和偶子集的个数相等。 (Ⅲ)对于任意 , 当 时,含 的 的子集共有 个。由(Ⅱ)可知,对每个数 ,在奇子集与偶子集中, 所占的个数是相等的; 当 时,将(Ⅱ)中的1换成3即可。 可知 在奇子集与偶子集中占的个数是相等。 综合(1)(2),每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。 所以S n 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。 |
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