某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x（吨）时，所需的费用y（万元）与（x2+60x+800）成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p（单位：万元）由

Question

某公司对一种新型产品的产销情况进行了营销调查，发现年产量为x（吨）时，所需的费用y（万元）与（x²+60x+800）成正比例，投入市场后当年能全部售出且发现每吨的售价p（单位：万元）由基础价与浮动价两部分组成，其中基础价是固定不变的，浮动价与x成正比例，比例系数为-(1)/(20)．在营销中发现年产量为20吨时，所需的全部费用是240万元，并且年销售量W最大值为55万元．（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）求y（万元）与x（吨）之间满足的函数关系式；
（2）求年销售利润W与年产量x（吨）之间满足的函数关系式；
（3）当年销售利润最大时，每吨的售价是多少万元？

Answer 1

（1）设y=k（x²+60x+800），由题意，得
240=k（20²+60×20+800），
解得：k=(1)/(10)，
∴y=(1)/(10)x²+6x+80；
（2）设基础价为a，则p=a-(1)/(20)x，
∴W=px-y=（a-(1)/(20)x）x-（(1)/(10)x²+6x+80）=-(3)/(20)[x-(1)/(3)×10（a-6）]²+(1)/(3)×5（a-6）²-80．
∵W最大值为55万元，
∴(1)/(3)×5（a-6）²-80=55，
解得：a₁=15，a₂=-3（舍去），
∴W=-(3)/(20)[x-(1)/(3)10（15-6）]²+(1)/(3)×5（15-6）²-80=-(3)/(20)（x-30）²+55；
（3）∵W=-(3)/(20)（x-30）²+55，
∴当x=30（吨）时，年销售利润最大，
∴p=a-(1)/(20)x=15-(1)/(20)×30=13.5（万元/吨），
∴当年销售利润最大时，每吨的售价是13.5万元．