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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥底面ABCD,PD与底面成30°角.(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;(2)在(1)的条件下,求异面直线AE与CD所成
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(1)若AE⊥PD,E为垂足,求证:BE⊥PD;
(2)在(1)的条件下,求异面直线AE与CD所成角的余弦值;
(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵∠BAD=90°,∴BA⊥AD
∵PA⊥底面ABCD,
∴BA⊥PA.
又∵PA∩AD=A,
∴BA⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD.
∴PD⊥BA.
又∵PD⊥AE,且BA∩AE=A,
∴PD⊥平面BAE,
∴PD⊥BE,即BE⊥PD;
(2)过点E作EM∥CD交PC于M,连接AM,则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.
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∵PA⊥底面ABCD,且PD与底面ABCD成30°角.
∴∠PDA=30°.
∴在Rt△PAD中,∠PAD=90°,∠PDA=30°,AD=2a
∴PA=
a,PD=
a.
∴AE=
=
=a.
∵PE=
=
a,CD=
a.
∴ME=
∵PA⊥底面ABCD,
∴BA⊥PA.
又∵PA∩AD=A,
∴BA⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD.
∴PD⊥BA.
又∵PD⊥AE,且BA∩AE=A,
∴PD⊥平面BAE,
∴PD⊥BE,即BE⊥PD;
(2)过点E作EM∥CD交PC于M,连接AM,则AE与ME所成角即为AE与CD所成角.
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-09/02/1535858049-4205.jpg)
∵PA⊥底面ABCD,且PD与底面ABCD成30°角.
∴∠PDA=30°.
∴在Rt△PAD中,∠PAD=90°,∠PDA=30°,AD=2a
∴PA=
2
| ||
3 |
4
| ||
3 |
∴AE=
PA•AD |
PD |
| ||||
|
∵PE=
PA2 |
PD |
| ||
3 |
2 |
∴ME=
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