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如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周时,请将点M、N在大圆内运动所形成的痕

题目详情
如图1,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动,M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周时,请将点M、N在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图2中.
▼优质解答
答案和解析
如图1所示:
由题意可知,小圆O1总与大圆O相内切,且小圆O1总经过大圆的圆心O.
设某时刻两圆相切于点A,此时动点M所处位置为点M′,则大圆圆弧
AM
与小圆点M转过的圆弧相等.
以切点A在如图上运动为例,记直线OM与此时小圆O1的交点为M1,记∠AOM=θ,则∠OM1O1=∠M1OO1=θ,
故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ.
大圆圆弧
MA
的长为l1=θ×1=θ,小圆圆弧
AM1
的长为l2=2θ×
1
2
=θ,即l1=l2
∴小圆的两段圆弧
AM1
与圆弧
AM′
长相等,故点M1与点M′重合,
即动点M在线段MO上运动,同理可知,此时点N在线段OA上运动.
点A在其他象限类似可得,M、N的轨迹为相互垂直的线段.
点M、N在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图2中,如图所示.