已知函数f（x）=4-log2x，g（x）=log2x．（1）当x∈(12，8)时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3）•f（x2）>kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f（x）=4-log₂x，g（x）=log₂x．
（1）当x∈((1)/(2)，8)时，求函数h（x）=f（x）•g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x³）•f（x²）>kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，h（x）=（4-log₂x）•log₂x，
令t=log₂x，则y=-t²+4t=-（t-2）²+4，…（2分）
∵x∈((1)/(2)，8)，∴t∈（-1，3），y∈（-5，4]
即函数h（x）的值域为（-5，4]．…（4分）
（2）∵f（x³）•f（x²）>kg（x），令t=log₂x，则t∈[0，3]﹒
∴（4-3t）（4-2t）>kt对t∈[0，3]恒成立．…（5分）
令φ（t）=（4-3t）（4-2t）-kt=6t²-（k+20）t+16，
则t∈[0，3]时，φ（t）>0恒成立．…（6分）
∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴t=(k+20)/(12)，
∴①当(k+20)/(12)≤0，即k≤-20时，∵φ（0）>0恒成立，
∴k≤-20；                                            …（7分）
②当(k+20)/(12)≥3，即k≥16时，
由φ（3）>0，得k<(10)/(3)，不成立；                          …（8分）
③当0<(k+20)/(12)<3，即-20<k<16时，
由φ((k+20)/(12))>0，得-20-8√(6)<k<-20+8√(6)，
∴-20<k<-20+8√(6)．…（9分）
综上，k<-20+8√(6)．…（10分）