对于一切x∈[-2,1/2],不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围不用导函数怎么解我没学过导数

Question

对于一切x∈[-2,1/2],不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立,求实数a的取值范围
不用导函数怎么解 我没学过导数

Answer 1

当x=0时,对于任意实数a不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立；
当0＜x≤1 2 时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≥−1 x3 −1 x2 +1 x ．
设t=1 x （t≥2）,则f（t）=-t3-t2+t,f′（t）=-3t2-2t+1=-（t+1）（3t-1）,
当t≥2时,f′（t）＜0,∴f（t）=-t3-t2+t为减函数,∴f（t）max=f（2）=-10,
∴a≥-10；
当-2≤x＜0时,不等式ax3-x2+x+1≥0等价于a≤−1 x3 −1 x2 +1 x ．
设t=1 x （t≤−1 2 ）,则f（t）=-t3-t2+t,f′（t）=-3t2-2t+1=-（t+1）（3t-1）,
当t∈（-∞,-1）时,f′（t）＜0,f（t）为减函数,当t∈（-1,-1 2 ）时,f′（t）＞0,f（t）为增函数,
∴f（t）min=f（-1）=-1．
∴a≤-1．
综上,对于一切x∈[-2,1 2 ],使不等式ax3-x2+x+1≥0恒成立的实数a的取值范围是[-10,-1]．