已知函数f（x）=ex-ax-b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（）A.eB.e2C.eD.e2

Question

已知函数f（x）=e^x-ax-b，若f（x）≥0恒成立，则ab的最大值为（　　）
A. √(e)
B. e²
C. e
D. (e)/(2)

Answer 1

f′（x）=e^x-a，
若a=0，则f（x）=e^x-b的最小值为f（-∞）=-b≥0，
得b≤0，此时ab=0；
若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，此时f（-∞）=-∞，不可能恒有f（x）≥0．
若a＞0，则得极小值点x=lna，由f（lna）=a-alna-b≥0，得b≤a（1-lna）
ab≤a²（1-lna）=g（a）
现求g（a）的最小值：由g'（a）=2a（1-lna）-a=a（1-2lna）=0，得极小值点a=e(1)/(2)
g（e(1)/(2)）=(e)/(2)
所以ab的最大值为(e)/(2)，
故选：D．