不等式logax-ln2x<4（a>0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为．

Question

不等式log_ax-ln²x<4（a>0，且a≠1）对任意x∈（1，100）恒成立，则实数a的取值范围为___．

Answer 1

∵不等式log_ax-ln²x<4，
∴(lnx)/(lna)<（lnx）²+4，
令t=lnx，
∵x∈（1，100），∴t=lnx∈（0，ln100），
∴(t)/(lna)<t²+4在t∈（0，ln100）恒成立，
0<a<1时，lna<0，显然成立，
a>1时，lna>0，
故lna>(t)/(t2+4)，
令g（t）=(t)/(t2+4)，t∈（0，ln100），
则g′（t）=(-t2+4)/((t2+4)2)，
令g′（t）>0，解得：0<t<2，
令g′（t）<0，解得：t>2，
故g（t）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
故g（t）≤g（2）=(1)/(4)，
故lna>(1)/(4)，解得：a>e(1)/(4)，
综上，a∈（0，1）∪（e(1)/(4)，+∞），
故答案为：（0，1）∪（e(1)/(4)，+∞）．