已知函数y=lg（1x-1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式9x2-2x-m2x-2mx>-2恒成立，则正实数m的取值范围是．

Question

已知函数y=lg（(1)/(x)-1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式(9x)/(2-2x)-m²x-2mx>-2恒成立，则正实数m的取值范围是 ___．

Answer 1

由函数y=lg（(1)/(x)-1）可得，
(1)/(x)-1>0，解得0<x<1，
即有A=（0，1），
对任意x∈A都有不等式(9x)/(2-2x)-m²x-2mx>-2恒成立，即有
(9)/(2-2x)-m²-2m>-(2)/(x)，整理可得m²+2m<((9)/(2))/(1-x)+(2)/(x)在（0，1）恒成立，
由((9)/(2))/(1-x)+(2)/(x)=（((9)/(2))/(1-x)+(2)/(x)）（1-x+x）=(9)/(2)+2+((9)/(2)x)/(1-x)+(2(1-x))/(x)
≥(13)/(2)+2√((9)/(2)×2)=(25)/(2)．
即有m²+2m<(25)/(2)，由于m>0，
解得0<m<(3√(6)-2)/(2)，
故答案为：（0，(3√(6)-2)/(2)）．