若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，则a的最大值是．

Question

若奇函数f（x）在其定义域R上是减函数，且对任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，则a的最大值是______．

Answer 1

不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤-f（sinx-a）恒成立
又∵f（x）是奇函数，-f（sinx-a）=f（-sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（-sinx+a）在R上恒成立
∵函数f（x）在其定义域R上是减函数，
∴cos2x+sinx≥-sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1-2sin²x，∴cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1，
当sinx=-1时cos2x+2sinx有最小值-3．
因此a≤-3，a的最大值是-3
故答案为：-3