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已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数,对于任意x属于R,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求f(0)的值
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已知f(x)是定义在R上不恒为0的函数,对于任意x属于R,y属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y),求f(0)的值
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答案和解析
用赋值法带就行了 (1)令x=y=1可得f(1 1)=f(1) f(1)—1①
令x=1y=2可得f(1 2)=f(1) f(2)—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f(1)=2 令x=1y=3得f(1 3)=f(1) f(3)—1=5 (2)令y=1带入已知的抽象函数f(x 1)=f(x) f(1)—1移项得f(x 1)—f(x)=1 所以函数f(x)为增函数 (3)由(2)知函数f(x)为增函数,所以有ax-1﹤f(4)x 由题意知不等式(a-5)x-1﹤0的解集为x﹤3(因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3,这里你要想明白) 所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有(a-5)x-1﹤0成立
令函数 f(x)=(a-5)x-1 要满足任意的x﹤3都有f(x)﹤0 ①当a≠0时,只要函数为增函数且f(3)﹤0就行 有a-5﹥0且 f(3)﹤0推出 5﹤a﹤三分之十六 ②当a=5时,f(x)=-1,显然f(x)﹤0的解集不是x﹤3,不合题意. 综上a的取值范围为5﹤a﹤三分之十六
令x=1y=2可得f(1 2)=f(1) f(2)—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f(1)=2 令x=1y=3得f(1 3)=f(1) f(3)—1=5 (2)令y=1带入已知的抽象函数f(x 1)=f(x) f(1)—1移项得f(x 1)—f(x)=1 所以函数f(x)为增函数 (3)由(2)知函数f(x)为增函数,所以有ax-1﹤f(4)x 由题意知不等式(a-5)x-1﹤0的解集为x﹤3(因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3,这里你要想明白) 所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有(a-5)x-1﹤0成立
令函数 f(x)=(a-5)x-1 要满足任意的x﹤3都有f(x)﹤0 ①当a≠0时,只要函数为增函数且f(3)﹤0就行 有a-5﹥0且 f(3)﹤0推出 5﹤a﹤三分之十六 ②当a=5时,f(x)=-1,显然f(x)﹤0的解集不是x﹤3,不合题意. 综上a的取值范围为5﹤a﹤三分之十六
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