已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．圆C：（x-1）2+（y-2）2=25．（1）求证：直线l恒过定点，并求出此定点；（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为46，求实数m的值．

Question

已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．圆C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出此定点；
（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4√(6)，求实数m的值．

Answer 1

（1）直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）可整理为：(2x+y−7)m+x+y−4＝0⇒

2x+y−7＝0

x+y−4＝0

⇒

x＝3

y＝1

故直线l恒过定点（3，1）…（6分）
（2）若直线l被圆C截得的线段的长度为4√(6)，则圆心到直线的距离为1
即(|(2m+1)+2(m+1)−7m−4|)/(√((2m+1)2+(m+1)2))＝1⇒(|3m+1|)/(√(5m2+6m+2))＝1⇒m＝±(1)/(2)…（12分）