若不等式2xlnx≥-x2+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Question

若不等式2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞），
等价于a≤x+2lnx+(3)/(x)，
令g（x）=x+2lnx+(3)/(x)，x∈（0，+∞），
g′（x）=1+(2)/(x)-(3)/(x2)=((x+3)(x−1))/(x2)，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，
当x=1时，g′（x）=0，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．