(1+1/n)的n+a次方对于任意n属于正整数恒小于等于e求解a的取值范围能否用导数做?

Question

(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围
能否用导数做?

Answer 1

不等式两侧同取对数,
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x,x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]²[1/(1+x)] +1/x²
＝{[ln(1+x)]²(1+x)-x²}/{[x²{[ln(1+x)]²(1+x)} （通分）
因为,x=1/n,n为正整数
所以,00
分母>0,讨论分子
设,g(x)=[ln(1+x)]²(1+x)-x² （00,只讨中论括号里面的
设t(x)＝ln(1+x)－x
t’(x)＝1/(1+x) －1＝-x/(1+x)