设x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一?xxT有n-1个特征值为0怎么得来?

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设 x是n维非零实列向量,矩阵A=E+xxT,(n>=3),证明:A恰有n-1个特征值为一?
xxT有n-1个特征值为0怎么得来?

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答案和解析

特征值为0的意思是对某列向量y,有xxTy=0
xxTy=x(xTy)
而xTy=x1y1+x2y2+……+xnyn ∈R1 也就是是一个系数
于是xxTy=0 当且仅当xTy=0 (因为x不为零向量)
下面就是要解出y.
x1y1+x2y2+……+xnyn=0 ,1个式子n个未知数（这里y是未知数x是已知数）
系数矩阵为 xT rank(xT)=1
所以y有n-1个线性无关的解.也就是对应有n-1个特征向量,对应就是有n-1个特征值为0

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